氢原子 (Hydrogen Atom)

概述

氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单原子系统。正因为其简单性，它成为量子力学的理想试验场——旧量子论和现代量子力学都在氢原子上取得了精确解，其理论预言与实验的高度契合是量子力学最伟大的胜利之一。

可信度说明

• 可信度: ★★★★★（基于 Bohr 1913、Schrödinger 1926 原始论文及 Griffiths/Sakurai 教材交叉验证）
• 验证状态: 已验证
• 来源: [1][2][3][4]

玻尔模型（1913年）

基本假设

玻尔将卢瑟福的核式模型与普朗克的量子化想法结合，提出了三大假设：

1. 定态假设：电子只能在离散轨道上运动，不辐射能量
2. 频率条件：跃迁时光子能量 $h\nu =E_i-E_f$
3. 角动量量子化：$L=n\hslash$

能级与轨道

玻尔导出了氢原子的能级和轨道半径：

$$E_n=-\frac{13.6\text{eV}}{n^2},r_n=n^2{a}_0$$

其中 $a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}\approx 0.529\text{Å}$ 为玻尔半径。

里德伯公式

玻尔模型自然导出了氢原子光谱的里德伯公式：

$$\frac{1}{\lambda }=R_H(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2})$$

其中 $R_H\approx 1.097\times {10}^7{\text{m}}^{-1}$ 为里德伯常数。

定态薛定谔方程的精确解

方程建立

将库伦势 $V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ 代入定态薛定谔方程：

$$[-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}]\psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r})$$

分离变量与解

在球坐标中分离变量 $\psi (r,\text{th}\eta ,\varphi )=R(r)Y_l^m(\text{th}\eta ,\varphi )$，得到三个量子数：

1. 主量子数 $n=1,2,3,\dots$
2. 角量子数 $l=0,1,\dots ,n-1$
3. 磁量子数 $m=-l,-l+1,\dots ,l$

能量本征值

定态薛定谔方程自然导出与玻尔模型相同的能级公式：

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {\epsilon }_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}=-\frac{13.6\text{eV}}{n^2}$$

但与玻尔模型不同，薛定谔方程还自然给出了：

• 角动量量子化：$L^2=l(l+1){\hslash }^2$
• 空间量子化：$L_z=m\hslash$
• 波函数的完整空间分布

流传误区

• ❌ "玻尔模型是错误的" → ✅ 玻尔模型是经典量子论的过渡性近似，在氢原子上给出的能级公式与定态薛定谔方程精确一致，在历史上和教学上具有重要价值
• ❌ "电子运行在确定的轨道上" → ✅ 现代量子力学中没有"轨道"概念，只有概率云分布
• ❌ "氢原子有只有一个能级" → ✅ 氢原子有无穷多个离散能级（$n\to \mathrm{\infty }$ 时 $E_n\to 0$），连续谱也存在（$E>0$的散射态）

相关条目

• quantization-energy-levels — 量子化与能级
• 1913-bohr-atomic-model — 1913：玻尔原子模型
• schrodinger-equation — 薛定谔方程
• wave-function — 波函数
• niels-bohr — 尼尔斯·玻尔
• people/erwin-schrodinger — 埃尔温·薛定谔

参考文献

1. N. Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules," Philosophical Magazine 26, 1–25 (1913). DOI
2. E. Schrödinger, "Quantisierung als Eigenwertproblem," Annalen der Physik 79, 361–376 (1926).
3. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2018, §4.2.–4.3. (B级教材)
4. J. J. Sakurai and J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2021, §2.4. (B级教材)