哈密顿量 (Hamiltonian)

概述

哈密顿量（Hamiltonian）在量子力学中通常记为 $\hat{H}$。它既是系统能量的可观测量，也是生成时间平移的算符。给定 $\hat{H}$，就基本确定了封闭系统的量子态时间演化。

可信度说明

• 可信度: ★★★★★（Dirac、Landau-Lifshitz 与 Sakurai 教材一致）
• 验证状态: 已验证
• 来源: [1][2][3]

非相对论形式

对质量为 $m$ 的单粒子，在势能 $V(\hat{x})$ 中运动，常见哈密顿量为：

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x})$$

其中第一项是动能，第二项是势能。在位置表象中，$\hat{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$，于是得到定态薛定谔方程：

$$\hat{H}{\psi }_n(\mathbf{r})=E_n{\psi }_n(\mathbf{r})$$

能量本征值与能谱

哈密顿量的本征值 $E_n$ 是可能的能量测量结果。本征态 $|E_n⟩$ 构成能量表象的基底。若

$$|\psi (0)⟩=\sum _n{c}_n|E_n⟩$$

且 $\hat{H}$ 不显含时间，则

$$|\psi (t)⟩=\sum _n{c}_n{e}^{-i{E}_{n}t/\hslash }|E_n⟩$$

这说明能量本征态只获得相位因子，而不同能量本征态的相对相位会导致可观测的干涉与振荡。

作为时间演化生成元

薛定谔方程可写成：

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$$

因此哈密顿量决定系统如何随时间变化。若 $\hat{H}$ 自伴，演化算符是幺正的，保证概率守恒。

与近似方法

许多真实系统的哈密顿量不能精确求解，通常写成：

$$\hat{H}={\hat{H}}_0+\lambda \hat{V}$$

其中 ${\hat{H}}_0$ 可解，$\lambda \hat{V}$ 是小修正。这正是微扰理论的基本设定。

流传误区

• ❌ “哈密顿量永远等于经典总能量公式” → ✅ 在简单非相对论系统中常如此，但在自旋、场论、有效理论中形式更丰富。
• ❌ “知道能量平均值就知道了哈密顿量” → ✅ 哈密顿量是算符；一个平均值不足以确定能谱与动力学。
• ❌ “定态没有变化” → ✅ 定态的概率分布不变，但态矢量仍随时间获得相位。

相关条目

• time-evolution — 量子态时间演化
• schrodinger-equation — 薛定谔方程
• observables — 可观测量
• perturbation-theory — 微扰理论
• operator-theory — 算符理论

参考文献

1. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Oxford University Press, 1958.（A级教材）
2. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd ed., Pergamon, 1977.（B级教材）
3. J. J. Sakurai and J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 3rd ed., Cambridge University Press, 2021.（B级教材）