矩阵力学与波动力学 (Matrix Mechanics vs Wave Mechanics)

概述

1925–1926 年，量子力学在同一年内诞生了两套看似截然不同的数学形式：海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学。前者以代数方法彻底抛弃经典图像，后者以微分方程延续波动直觉。两者究竟有何异同？它们又如何被证明是等价的？

可信度说明

• 可信度: ★★★★★（基于 Heisenberg 1925、Schrödinger 1926 原始论文及标准教材）
• 验证状态: 已验证
• 来源: [1][2][3]

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核心对比一览

维度	矩阵力学 (Matrix Mechanics)	波动力学 (Wave Mechanics)
创立者	[[werner-heisenberg	海森堡]] (1925)
数学工具	无限维矩阵、对易关系	偏微分方程 (薛定谔方程)
物理图像	无经典对应，强调可观测量	延续波动图像，有经典类比
基本方程	$[x,p]=i\hslash$	$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi$
求解方式	矩阵对角化、本征值问题	求解微分方程的边值问题
波函数角色	无显式波函数概念	$\psi$ 是核心物理量
哲学倾向	实证主义，排斥不可观测量	实在论，试图恢复连续性

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矩阵力学：代数革命

核心思想

海森堡在 1925 年 提出的核心洞见是：

物理学只应讨论原则上可观测的量。

他彻底抛弃了电子轨道的经典概念，用一组跃迁振幅 $x_{nm}$ 来描述系统——其中下标 $n,m$ 代表两个量子态。这些振幅构成一个矩阵，其乘法不满足交换律：

$$[x,p]=xp-px=i\hslash I$$

求解氢原子

矩阵力学求解氢原子能级时，需要将哈密顿量矩阵对角化，其本征值即为允许的能量：

$$H_{nm}=E_n{\delta }_{nm}$$

这一过程数学上严谨，但计算极其繁复，缺乏直观的物理图像。

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波动力学：微分方程的延续

核心思想

薛定谔受 德布罗意物质波 启发，试图为量子系统找到一个波动方程。1926 年，他提出了著名的含时薛定谔方程：

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{r},t)=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{r})]\psi (\mathbf{r},t)$$

以及定态薛定谔方程：

$$\hat{H}{\psi }_n=E_n{\psi }_n$$

求解氢原子

薛定谔将氢原子的库仑势代入方程，求解分离变量后的径向方程，直接得到了与玻尔模型一致的能级公式：

$$E_n=-\frac{13.6\text{eV}}{n^2}$$

更令人惊讶的是，方程还自动给出了角动量量子化（$l=0,1,\dots ,n-1$）和磁量子数（$m=-l,\dots ,l$），这些都是玻尔模型人为引入的。

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等价性证明

薛定谔的证明 (1926)

薛定谔本人率先证明了两种形式的等价性。他展示了：

1. 波函数 ↔ 矩阵元素：矩阵元素可以通过波函数积分得到：

   $$x_{nm}=\int {\psi }_n^{\ast }(\mathbf{r})x{\psi }_m(\mathbf{r})d^{3}r$$

2. 算符 ↔ 微分算子：位置算符 $x$ 对应乘以 $x$，动量算符 $p$ 对应微分算子 $-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

3. 对易关系自动满足：上述对应自然导出 $[x,p]=i\hslash$

狄拉克的更深层统一 (1930)

狄拉克（本知识库暂无专页）在《量子力学原理》中，用抽象希尔伯特空间统一了两种表述：

矩阵力学是离散基下的表述，波动力学是位置基（连续基）下的表述。两者是同一抽象数学结构的不同表象。

这一观点被总结为表象理论（Representation Theory），成为现代量子力学的标准语言。

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两种方法的现代地位

波动力学的主导

在实际计算中，波动力学几乎完全占据主导地位，原因包括：

• 微分方程比矩阵对角化更直观、更易计算
• 波函数 $|\psi {|}^2$ 直接给出概率密度，物理图像清晰
• 化学、凝聚态物理等领域严重依赖波函数方法

矩阵力学的遗产

然而，矩阵力学的思想并未消失：

• 抽象代数结构（对易关系、算符代数）是现代量子力学的语言核心
• 矩阵形式在有限能级系统（如量子计算中的量子比特）中重新成为主角
• 海森堡绘景（Heisenberg Picture）是处理含时问题的重要工具

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哲学分歧的延续

海森堡：实证主义

海森堡强调物理学的任务是建立可观测量之间的关系，而非追问"电子究竟在哪里"。

薛定谔：实在论

薛定谔最初希望波函数代表某种真实的物理波（如电荷密度波），但这一解释很快被发现与多粒子系统矛盾。他后来对哥本哈根诠释感到深深不满。

这一哲学分歧至今仍在 量子力学诠释 中延续。

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流传误区

• ❌ "矩阵力学已经被波动力学取代" → ✅ 两者等价，波动力学更方便计算，但矩阵代数的抽象结构是理论基础
• ❌ "薛定谔方程可以从经典波动方程推导" → ✅ 薛定谔方程是量子力学的基本假设，无法从经典理论严格推导
• ❌ "矩阵力学无法处理连续谱" → ✅ 矩阵力学可以处理连续谱（需引入广义矩阵/分布），只是不如波动力学方便
• ❌ "海森堡和薛定谔互相欣赏" → ✅ 两人最初关系紧张，薛定谔甚至说"两种理论我都讨厌，但我更讨厌矩阵力学"

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相关条目

• 1925：海森堡矩阵力学
• 维尔纳·海森堡
• 埃尔温·薛定谔
• 1924：德布罗意物质波
• 量子化与能级
• 希尔伯特空间
• 不确定性原理
• 哥本哈根诠释

参考文献

1. W. Heisenberg, "Über quantentheoretischer Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen," Zeitschrift für Physik 33, 879 (1925). [原始论文]
2. E. Schrödinger, "Quantisierung als Eigenwertproblem," Annalen der Physik 79, 361 (1926). [原始论文]
3. E. Schrödinger, "Über das Verhältnis des Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen," Annalen der Physik 79, 734 (1926). [等价性证明]
4. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Oxford University Press, 1958. [标准教材]